Brief an einen Freund - Entdeckung eines Musters in der Verteilung der Primzahlen

Lieber Roland,

endlich komme ich dazu, Dir das Zahlen-, Bild- und Textmaterial zu schicken, mit dem ich Dir meine Entdeckung eines Musters in der Verteilung der Primzahlen noch ein Stück näher bringen möchte.

Ich denke wir sind uns einig darüber, dass die gängige Meinung, die in der mathematischen Welt zur Zeit immer noch herrscht, davon ausgeht, dass es ein strukturelles Muster in der Primzahl – Verteilung nicht gibt.

(Weshalb ja die Verschlüsselung von Informationen auf Primzahlen basiert.)

Soweit ich als mathematischer Laie es verstanden habe, wollte Bernhard Riemann mit seiner berühmten Vermutung und seiner Zeta-Funktion auch nur die quantitative Abnahme der Dichte der PZ nach oben genauer fassen.

Ich hingegen sehe in dem Symmetriemuster, das ich hier vorstelle, ein qualitatives Strukturmuster.

Es lässt sich mit Hilfe von Computerprogrammen bis in sehr hohe Bereiche verfolgen und nachweisen. Die Obergrenze ist eigentlich nur durch Kapazitätseinschränkungen der Computer gegeben.

(Vielleicht kannst Du an dieser Stelle mit Deinem Institut oder anderen Verbindungen Abhilfe schaffen)

Meine ersten Untersuchungen beschränkten sich auf den Bereich bis 360. Ich habe im Kreis von 360 Grad versucht mit dem Zirkel auf geometrische Weise Symmetrien zu finden. Tatsächlich eignen sich alle Teiler von 360 als Symmetriepunkte, zu denen Primzahlen spiegelbildlich stehen. Von diesen Teilern stehen ja auch etliche zwischen Zwillingen (z.B.4,6,12,18,30, 60,72,180).

Erst später bin ich darauf gekommen, dass ausschließlich die Zahlen zwischen den Zwillingen die Schlüssel sind zur Auffindung des Verteilungsmusters der Primzahlen.

Ich habe auch deshalb mich zunächst auf die Zahl 360 als Obergrenze konzentriert, weil 360 eine hoch zusammengesetzte Zahl ist.

(Von diesen hoch zusammengesetzten Zahlen hat der indische Mathematiker Ramanujan einmal gesagt, sie wären so wenig prim wie es eine Zahl nur sein kann.)

Meine Vorgehensweise war weniger logisch als intuitiv.

Hier nun eine tabellarische Zahlenpyramide in einer farbigen und eine SW-Variante

In der weißen Mittelsenkrechten (s. obere Abb.) stehen alle Zahlen, die unter 360 zwischen Primzahl-Zwillingen bestehen. Keine Primzahlen!

Ich nenne sie Symmetriezahlen.

Zu ihnen direkt benachbart stehen rechts und links in Gelb die Zwillinge im symmetrischen Abstand von 1.

In jeder Zeile sind nun weitere gleichfarbige Primzahlen, die ebenfalls paarweise im gleichen Abstand zum Zentrum stehen, aufgereiht. Diese nenne ich – in Anlehnung an die Zwillingsprimzahlen – Geschwisterprimzahlen.

Alle Zahlen, die in dieser tabellarischen Aufstellung in einer Zeile stehen:

die zentrale Symmetriezahl, die benachbarten Zwillinge und die weiteren Geschwister nenne ich zusammen eine Primzahl-Familie, jeweils benannt nach der Zahl in ihrem Zentrum.

Alle Zwillings- und Geschwisterpaare ergeben in der Summe das Doppelte der Symmetriezahl.

Auch besteht eine Gleichung zwischen dem Produkt aus der Anzahl der Primzahlen und der Symmetriezahl einerseits und der Summe aller Primzahlen einer Familie. Z.B: PZF (Primzahl-Familie 30). 14 PZ x 30 = 420. 7 x 60 = 420.

1. 7. 13. 17. 19. 23. 29. 30. 31. 37. 41. 43. 47. 53. 59.

Ein Schüler von mir hat, als ich noch im Goethe-Gymnasium in Berlin Kunst unterrichtete, nach einem Algorithmus, den ich ihm vorgab, Programme geschrieben, die die Auffindung und Auflistung aller höheren PZF ermöglichen.

Doch zunächst noch eine weitere tabellarische Übersicht von Primzahlen, ebenfalls zu einer Pyramide angeordnet. Es handelt sich hier ausschließlich um Zwillings-Primzahlen-Paare und die Symmetriezahlen, zu denen sie spiegelbildlich stehen.

Ich sollte an dieser Stelle einfügen, dass ich die 1 weiterhin als Primzahl in diesem Muster behandele. Im 19. Jh. galt sie noch als PZ. Sie wurde dann erst deshalb als Primzahl abgeschafft, weil sie sich nicht als Primzahl-Faktor eignete.

Die Symmetriezahlen zwischen den Zwillingen enden nur auf 0, 2 und 8.

Auf 4 und 6 geht nicht (nur am Anfang neben der 5 ), weil eine Zahl mit der Endziffer 5 keine Primzahl ist.

Ich habe in obiger Zwillings-Primzahl-Tabelle die Zeilen je nach der Endziffer der zentralen Symmetriezahl (0,2 oder 8) farblich voneinander unterschieden.

0 ist rot , 2 ist grün und 8 ist blau. Es ist ganz nebenbei sehr interessant, dass diese Zwillings-Primzahl-Familien in ihrer Mächtigkeit ganz deutlich unterschieden sind: Die roten sind die größten, es folgen die grünen, zuletzt die blauen.

Klar ist, dass alle drei Typen im Verbund alle Primzahl-Zwillinge sukzessive erfassen.

Diese beiden Tabellen stellen sozusagen das Rohmaterial dar, auf dessen Basis ich meine These stütze, das diese erkennbare Musterbildung sich bis in die Unendlichkeit fortsetzt. Der bereits genannte Schüler hat ein Computerprogramm geschrieben nach folgendem Algorithmus:

Zunächst werden die Symmetriezahlen zwischen den Zwillingen ermittelt. Es folgt die Ermittlung der rückwärtigen zu diesen Symmetriezahlen positionierten Primzahlen.

Es folgt die Ermittlung der zukünftigen ( zu den rückwärtigen Primzahlen spiegelbildlichen) Positionen der Primzahlen. Alle Primzahlen, die kein Geschwisterpaar haben fliegen raus!

Das Programm ermittelt darauf das nächst höhere Zwillingspaar und setzt die Zahl dazwischen als neue Symmetriezahl ein. U.s.w.

Es gibt zwei Varianten dieses Programms:

Beim ersten (ganz gemütlich) muss man die Symmetriezahl (auch Trenner genannt) selbst eingeben und das Programm ermittelt die ganze Primzahl-Familie.

Beim zweiten läuft das Programm selbsttätig und stapelt alle ermittelten PZF (Primzahl-Familien).

Auf meinem inzwischen ausrangierten PC erscheint in rasender Geschwindigkeit eine PZF nach der nächsten und man kann, (man muss sogar) den Prozess anhalten bzw. unterbrechen mit Strg S (stop) und wieder fortsetzen mit Strg G (go).

Wegen der Fülle des Zahlenmaterials werden in Kürze die ersten Ergebnisse gelöscht ,um Platz für die nächsten zu machen, so dass immer nur ein begrenztes „Fenster „ von Ergebnissen zu sehen ist.

Falls Dich die Programme noch genauer interessieren: Ich habe die Ausdrucke der Befehlsketten.

Diese Programme sind im Text meiner Mail, nicht in diesem Anhang

Ich hoffe, Du kannst die Programme öffnen und evtl. eines Tages auf Rechnern laufen lassen, die in der Lage sind, dieses Verteilungsmuster der Primzahlen in der ganzen Fülle, Tiefe und Breite nachzuweisen.

Ich möchte einen Gedanken anfügen, der – mein Laientum eingestanden und vorausgesetzt – etwas kühn ist und möglicherweise völlig daneben zielt.

Riemann postuliert, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion auf einer Geraden liegen, die durch 1/2 führt. Meine Frage:

Lieber Roland, kann es sein, da alle Zentren meiner symmetrischen Primzahl-Familien auf der Hälfte (in der Mitte der Familien liegen), also im Punkt 1/2 , dass darin ein Zusammenhang zu Riemanns Vermutung zu seiner Zeta-Funktion besteht ???

Um den Primzahlen auf einer Bildfläche einen Ort zuzuweisen, der ihrer Höhe entspricht, habe ich hier die Mittelsenkrechte bei 72 von einer Diagonalen kreuzen lassen, auf der sich die entsprechenden Primzahl-Familie befindet. Die weißen symmetrisch nach unten und oben weisenden Viertelkreis – Bögen verbinden das Symmetriezentrum mit den Primzahl-Paaren.

Hier wurde die Mittelsenkrechte diagonal von allen Primzahl-Familien bis zur 192 im Zentrum von links oben bis rechts unten gekreuzt, sie überlagern sich.