Primzahlverteilung

Die Verteilung der Primzahlen.

Sie gilt bis heute als chaotisch, regellos, unvorhersehbar. Andererseits wird seit je her vermutet, dass es doch so etwas wie eine Struktur,  eine Regelmäßigkeit in der Abfolge der Primzahlen geben könnte.

Seit einigen Jahren beschäftige ich mich als Bildender Künstler damit, in der Verteilung der Primzahlen ein Ordnungsprinzip zu entdecken, bzw. das entdeckte Verteilungsmuster in Bildern zu visualisieren.

Um es vorauszuschicken: es ist ein Symmetrie-Muster, das ich freigelegt habe. Es hängt ganz eng mit den Zwillings-Primzahlen zusammen, bzw. mit den Zahlen zwischen den Zwillingen.

Diese sind Mehrfache von 6 (6n) und die Zwillinge werden notiert wie folgt :

6n-1 und 6n+1. z.B. sei n=1: 6×1-1=5 und 6×1+1=7 , 5,6,7

und sei n=2: 6×2-1=11 und 6×2+1=13,  11,12,13

und sei n=3: 6×3-1=17 und 6×3+1=19,  17,18,19, usw. 

 

Die Zahlen zwischen den Zwillingen nenne ich Symmetriezahlen: zu diesen stehen die Zwillinge ganz offensichtlich in symmetrischen Abstand. Der erste Zwilling ist um 1 kleiner und der zweite um 1 größer als die Symmetriezahl. Meine Entdeckung besteht nun darin, dass weitere Primzahlen über die Zwillinge hinaus ebenfalls paarweise in spiegelbildlichem Abstand zu den Symmetriezahlen zwischen den Zwillingen stehen.

Nehmen wir zum Beispiel die Symmetriezahl 18 (6×3) mit den Zwillingen:

17 (6×3-1) und 19 (6×3+1).

5- 7- 13- 17- 18- 19- 23- 29- 31.

Die Abstände zum Zentrum stehen darunter:

 13  11   5      1     1     5    11    13

Es ist offensichtlich:

1. Die Zwillinge 17 und 19 sind in der Summe das Doppelte der Zahl zwischen ihnen. (36)

2. Alle weiteren Primzahlen stehen hier ebenfalls paarweise in gleichem Abstand zu der Symmetriezahl.

3. Diese Paare ( ich nenne sie in Anlehnung an die Zwillinge Geschwister-Primzahlen) ergeben ebenfalls in der Summe 36, also das Doppelte der Symmetriezahl.

4. Eine Gleichung besteht aus der Summe aller beteiligten Primzahlen  

(5+7+13+17+19+23+29=144)

und dem Produkt aus der Anzahl (8) der Primzahlen und dem Zentrum (18).

Also: 8×18=144

oder dem Produkt aus der Anzahl der Paare (4) und ihrer jeweiligen Summe (36).

Also: 4×36=144

 

Das Primzahlensymmetriemuster

DAS PRIMZAHLSYMMETRIEMUSTER.

Die Verteilung der Primzahlen gilt in der Mathematik als chaotisch. Die herrschende Meinung besagt, dass die Primzahlen keinem System, keiner Ordnung, keinem Muster folgen, bzw. dass ein solches Muster bisher nicht gefunden wurde.

Es sei hier noch vorausgeschickt, was eigentlich Primzahlen auszeichnet.

Sie lassen sich nur durch eins und sich selbst teilen. Sie sind also Individuen, unteilbar wie zum Beispiel 11. Während 12 teilbar ist durch 1, 2, 3 , 4 , 6 und 12, ist die 11 nur durch sich selbst und 1 teilbar.

Man kann auch sagen, dass die erste Zahl von jedem 1×1 eine Primzahl ist.

Vermutlich haben die Primzahlen daher auch ihren Namen.

1×2 = 2, also ist 2 eine Primzahl, übrigens die einzige gerade Zahl, denn 4,6,8,10,12…. sind  keine PZ, weil sie die 2.3.4.  usw. Zahlen des 1x1x  der 2 sind. Das bedeutet, das jede weitere gerade Zahl außer 2 keine Primzahl sein kann.

1×3 = 3, also ist  3 eine PZ, 9,15, 21, usw. sind also keine PZ. (6,12 und 18 sind sowieso keine PZ, s. oben)

Das bedeutet , dass jedes Vielfache von 3 keine Primzahl sein kann.

1×5 = 5, also ist  5 eine PZ, 10, 20, 25 sind also keine Primzahlen.

Dass bedeutet , dass keine Zahl, die auf 0 oder auf 5 endet, eine Primzahl sein kann, außer der Zahl 5 selbst, u.s.w. Vom 1×1 der 7 ist nur die 7 eine Primzahl, alle weiteren Vielfachen fallen raus.
Weiterlesen

An English Text for The Bridges Organization

Dear audience,

the subject of my artistic and mathematical work is the distribution of the prime numbers.

It is the prevailing opinion in the mathematical community that the prime numbers are distributed in a way that does not allow any rule to be found, there seems to be no system to make a prediction for a next prime number´s position.

The mathematician Bernhard Riemann has given with his famous conjecture precise tools to calculate the quantitative decrease of the density of the prime numbers under given higher numbers.

But never the less the prime numbers still have the reputation of being chaotically positioned.

What was missing so far is a structural pattern of the prime numbers distribution.

And I promise you, I have found it:

It is a beautiful symmetry-pattern.

I hope my lecture, my art work and in addition a computer program will convince you.

This following tabular compilation of numbers consists of prime numbers with the exception that in the central vertical column there are numbers that exist between the twin-prime-numbers below 360, like 6 between 5 and 7, 12 between 11 and 13 and so on up to 348 between 347 and 349.

Weiterlesen

Brief an einen Freund – Entdeckung eines Musters in der Verteilung der Primzahlen

Lieber Roland,

endlich komme ich dazu, Dir das Zahlen-, Bild- und Textmaterial zu schicken, mit dem ich Dir meine Entdeckung eines Musters in der Verteilung der  Primzahlen noch ein Stück näher bringen möchte.

Ich denke wir sind uns einig darüber, dass die gängige Meinung, die in der mathematischen Welt zur Zeit immer noch herrscht, davon ausgeht, dass es ein strukturelles Muster in der Primzahl – Verteilung nicht gibt.

(Weshalb ja die Verschlüsselung von Informationen auf Primzahlen basiert.)

Soweit ich als mathematischer Laie es verstanden habe, wollte Bernhard Riemann mit seiner berühmten Vermutung und seiner Zeta-Funktion auch nur die quantitative Abnahme der Dichte der PZ nach oben genauer fassen.

Ich hingegen sehe in dem Symmetriemuster, das ich hier vorstelle, ein qualitatives Strukturmuster.

Es lässt sich mit Hilfe von Computerprogrammen bis in sehr hohe Bereiche verfolgen und nachweisen. Die Obergrenze ist eigentlich nur durch Kapazitätseinschränkungen der Computer gegeben.

(Vielleicht kannst Du an dieser Stelle mit Deinem Institut oder anderen Verbindungen Abhilfe schaffen)

Meine ersten Untersuchungen beschränkten sich auf den Bereich bis 360. Ich habe im Kreis von 360 Grad versucht mit dem Zirkel  auf geometrische Weise Symmetrien zu finden. Tatsächlich eignen sich alle Teiler von 360 als Symmetriepunkte, zu denen Primzahlen spiegelbildlich stehen. Von diesen Teilern stehen ja auch etliche zwischen Zwillingen (z.B.4,6,12,18,30, 60,72,180).

Erst später bin ich darauf gekommen, dass  ausschließlich die Zahlen zwischen den Zwillingen die Schlüssel sind zur Auffindung des Verteilungsmusters der Primzahlen. 

Ich habe auch deshalb mich zunächst auf die Zahl 360 als Obergrenze konzentriert, weil 360 eine hoch zusammengesetzte Zahl ist.

(Von diesen hoch zusammengesetzten Zahlen hat der indische Mathematiker Ramanujan einmal gesagt, sie wären so wenig prim wie es eine Zahl nur sein kann.)

Meine Vorgehensweise war weniger logisch als intuitiv.

Hier nun eine tabellarische Zahlenpyramide in einer farbigen und eine SW-Variante 

In der weißen Mittelsenkrechten (s. obere Abb.) stehen alle Zahlen, die unter 360 zwischen Primzahl-Zwillingen bestehen.   Keine Primzahlen! 

Ich nenne sie Symmetriezahlen.

Zu ihnen direkt benachbart stehen rechts und links in Gelb die Zwillinge im symmetrischen Abstand von 1.

In jeder Zeile sind nun weitere gleichfarbige Primzahlen, die ebenfalls paarweise im gleichen Abstand zum Zentrum stehen, aufgereiht. Diese nenne ich – in Anlehnung an die Zwillingsprimzahlen – Geschwisterprimzahlen.

Alle Zahlen, die in dieser tabellarischen Aufstellung in einer Zeile stehen:

die zentrale Symmetriezahl, die benachbarten Zwillinge und die weiteren Geschwister nenne ich zusammen eine Primzahl-Familie, jeweils benannt nach der Zahl in ihrem Zentrum.

Alle Zwillings- und Geschwisterpaare ergeben in der Summe das Doppelte der Symmetriezahl.

Auch besteht eine Gleichung zwischen dem Produkt aus der Anzahl der Primzahlen und der Symmetriezahl einerseits und der Summe aller Primzahlen einer Familie. Z.B: PZF (Primzahl-Familie 30). 14 PZ x 30 = 420.    7 x 60       =  420.

1.  7.   13.   17.   19.   23.   29.   30.   31.   37.   41.   43.   47.   53.   59. 

Ein Schüler von mir hat, als ich noch im Goethe-Gymnasium in Berlin Kunst unterrichtete, nach einem Algorithmus, den ich ihm vorgab, Programme geschrieben, die die Auffindung und Auflistung aller höheren PZF ermöglichen.

Doch zunächst noch eine weitere tabellarische Übersicht von Primzahlen, ebenfalls zu einer Pyramide angeordnet. Es handelt sich hier ausschließlich um Zwillings-Primzahlen-Paare und die Symmetriezahlen, zu denen sie spiegelbildlich stehen.

Ich sollte an dieser Stelle einfügen, dass ich die 1 weiterhin als Primzahl in diesem Muster behandele. Im 19. Jh. galt sie noch als PZ. Sie wurde dann erst deshalb als Primzahl abgeschafft, weil sie sich nicht als Primzahl-Faktor eignete.

Die Symmetriezahlen zwischen den Zwillingen enden nur auf 0, 2 und 8.

Auf 4 und 6 geht nicht  (nur am Anfang neben der 5 ), weil eine Zahl mit der Endziffer 5 keine Primzahl ist. 

Ich habe in obiger Zwillings-Primzahl-Tabelle die Zeilen je nach der Endziffer der zentralen Symmetriezahl (0,2 oder 8) farblich voneinander unterschieden.

 0 ist rot , 2 ist grün und 8 ist blau. Es ist ganz nebenbei sehr interessant, dass diese Zwillings-Primzahl-Familien in ihrer Mächtigkeit ganz deutlich unterschieden sind: Die roten sind die größten, es folgen die grünen, zuletzt die blauen.

Klar ist, dass alle drei Typen im Verbund alle Primzahl-Zwillinge sukzessive erfassen.

Diese beiden Tabellen stellen sozusagen das Rohmaterial dar, auf dessen Basis ich meine These stütze, das diese erkennbare Musterbildung sich bis in die Unendlichkeit fortsetzt. Der bereits genannte Schüler hat ein Computerprogramm geschrieben nach folgendem Algorithmus:

Zunächst werden die  Symmetriezahlen zwischen den Zwillingen ermittelt. Es folgt die Ermittlung der rückwärtigen zu diesen Symmetriezahlen positionierten Primzahlen. 

Es folgt die Ermittlung der zukünftigen ( zu den rückwärtigen Primzahlen spiegelbildlichen) Positionen der Primzahlen. Alle Primzahlen, die kein Geschwisterpaar haben fliegen raus!

Das Programm ermittelt darauf das nächst höhere Zwillingspaar und setzt die Zahl dazwischen als neue Symmetriezahl ein.  U.s.w.

Es gibt zwei Varianten dieses Programms:

Beim ersten (ganz gemütlich) muss man die Symmetriezahl (auch Trenner genannt) selbst eingeben und das Programm ermittelt die ganze Primzahl-Familie.

Beim zweiten läuft das Programm selbsttätig und stapelt alle ermittelten PZF (Primzahl-Familien). 

Auf meinem inzwischen ausrangierten PC erscheint in rasender Geschwindigkeit eine PZF nach der nächsten und man kann, (man muss sogar) den Prozess anhalten bzw. unterbrechen mit Strg S (stop) und wieder fortsetzen mit Strg G (go).

Wegen der Fülle des Zahlenmaterials werden in Kürze die ersten Ergebnisse gelöscht ,um Platz für die nächsten zu machen, so dass immer nur ein begrenztes „Fenster „ von Ergebnissen zu sehen ist.

Falls Dich die Programme noch genauer interessieren: Ich habe die Ausdrucke der Befehlsketten. 

Diese Programme sind im Text meiner Mail, nicht in diesem Anhang

Ich hoffe, Du kannst die Programme öffnen und evtl. eines Tages auf Rechnern laufen lassen, die in der Lage sind, dieses Verteilungsmuster der Primzahlen in der ganzen Fülle, Tiefe und Breite nachzuweisen.

Ich möchte einen Gedanken anfügen, der – mein Laientum eingestanden und vorausgesetzt – etwas kühn ist und möglicherweise völlig daneben zielt.

Riemann postuliert, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion auf einer Geraden liegen, die durch 1/2 führt. Meine Frage:

Lieber Roland, kann es sein, da alle  Zentren meiner symmetrischen Primzahl-Familien auf der Hälfte (in der Mitte der Familien liegen), also im Punkt 1/2 , dass darin ein Zusammenhang zu Riemanns Vermutung zu seiner Zeta-Funktion besteht ???

Um den Primzahlen auf einer Bildfläche einen Ort zuzuweisen, der ihrer Höhe entspricht, habe ich hier die Mittelsenkrechte bei 72 von einer Diagonalen kreuzen lassen, auf der sich die entsprechenden Primzahl-Familie befindet. Die weißen symmetrisch nach unten und oben weisenden Viertelkreis – Bögen verbinden das Symmetriezentrum mit den Primzahl-Paaren.

Hier wurde die Mittelsenkrechte diagonal von allen Primzahl-Familien bis zur 192 im Zentrum von links oben bis rechts unten gekreuzt, sie überlagern sich.

Durch die farbliche Absetzung der Primzahl-Familien voneinander sind sie deutlicher unterscheidbar.

Jetzt füge ich noch ein paar Bilder an, zum Genießen ohne Zahlengrübelei.

Acryl auf Leinwand 40×40

Hier ist das Zentrum des Bildes die Zahl 72, davor 60, 42, 30, 18, 12, 6,  usw.

Hier ist das Zentrum 348, die Größe des Bildes ist 174×174 cm.

Außerdem werde ich mich in 2019 an einer Ausstellung und einem Wettbewerb von www.bridgesmathart.org beteiigen.

Mit freundlichen Grüßen Walter Christian Reimann