Das Primzahlensymmetriemuster / Primzahlenverteilungsmuster
Die Verteilung der Primzahlen gilt in der Mathematik als chaotisch. Die herrschende Meinung besagt, dass die Primzahlen keinem System, keiner Ordnung, keinem Muster folgen, bzw. dass ein solches Muster bisher nicht gefunden wurde.
Es sei hier noch vorausgeschickt, was eigentlich die Primzahlen auszeichnet.
Sie lassen sich nur durch eins und sich selbst teilen. Sie sind also Individuen, unteilbar wie zum Beispiel 11. Während 12 teilbar ist durch 1,2, 3 , 4 , 6 und 12, ist die 11 nur durch sich selbst und 1 teilbar.
Man kann auch sagen, dass die erste Zahl von jedem 1×1 eine Primzahl ist.
Vermutlich haben die Primzahlen daher auch ihren Namen.
1×2 = 2, also ist 2 eine Primzahl, übrigens die einzige gerade Zahl, denn 4,6,8,10,12, u.s.w. sind keine PZ, weil sie die 2.3.4. usw. Zahlen des 1x1x der 2 sind. Das bedeutet, das jede weitere gerade Zahl außer 2 keine Primzahl sein kann.
1×3 = 3, also ist 3 eine PZ, 9,15, 21, usw. sind also keine PZ.(6,12 und 18 sind sowieso keine PZ, s. oben)
Das bedeutet , dass jedes Vielfache von 3 keine Primzahl sein kann.
1×5 = 5, also ist 5 eine PZ, 10, 20, 25 sind also keine Primzahlen.
Dass bedeutet , dass keine Zahl, die auf 0 oder auf 5 endet, eine Primzahl sein kann, außer der Zahl 5 selbst, u.s.w. Vom 1×1 der 7 ist nur die 7 eine Primzahl, alle weiteren Vielfachen fallen raus.
Betrachtet man z.B. die ersten 100 Primzahlen, so ist allenfalls erkennbar, dass die Dichte abnimmt, also die Abstände tendenziell größer werden: 
Darüber hinaus ist keine Musterbildung erkennbar.Anders als z.B. bei der Reihe der Fibonacchizahlen.(Goldener Schnitt):
1,1,2,3,5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,……….
Hier besteht jede Zahl aus der Summe der beiden vorangegangenen, die nächste wäre also 144.(natürlich werden auch hier die Abstände deutlich größer). Die jeweils nächste Zahl dieser Reihe ist klar berechenbar.
Seit Jahrtausenden besteht in der mathematischen Forschung die Sehnsucht, in der Verteilung der Primzahlen eine Ordnung zu finden.
Ich habe also ein Muster entdeckt und arbeite an dessen Visualisierung also mit:
Lineal und Zirkel (Geometrie) und
Punkt, Linie , Fläche und Farbe (Bildnerische Mittel)
Ich möchte hier am Beispiel des obigen Bildes die Struktur des Symmetriemusters in der Verteilung der Primzahlen erläutern.
Es handelt sich hier offensichtlich um einen sehr kleinen Ausschnitt der Zahlenwelt, den ich für exemplarisch halte. Ich werde auch zeigen, dass und wie sich dieses Muster fortsetzt. Denn was hier im Kleinen gilt, hat auch Gültigkeit im großen Rahmen mit sehr großer Wahrscheinlichkeit bis ins Unendliche, (nach der antiken Vorstellung von pars pro toto).
Ich habe in dieses Bild ausnahmsweise die Primzahlen, die darin vorkommen, an den betreffenden Stellen eingeschrieben.
Das Bild ist nur 40 x 40 cm groß , die höchste Primzahl ist 79, die kleinste 1. Jeder Zahl wird also ein halber Zentimeter eingeräumt.
Die Eins gilt heute nicht mehr als Primzahl, wurde aber im 19. Jh. noch als solche angesehen, sie passt sehr gut in das Muster und wird von mir somit auch wie eine Primzahl behandelt. Schließlich ist ja die 1 durch 1 und sich selbst teilbar. (Die Gründe für die Verbannung der 1 als PZ sind zu googeln)
Zum Verständnis des obigen Bildes:„ Kleines Primzahlmuster“, Acryl a. L. 40 x 40 cm, Dez. 2016
Auf diesem Bild befinden sich nicht nur Primzahlen, sondern auch die Zahlen zwischen einer besonderen Sorte der Primzahlen , die unter dem Namen Zwillingsprimzahlen bekannt sind. Diese heißen so, weil sie so dicht beieinander stehen, dass nur eine Zahl zwischen ihnen Platz hat.
Z. B. 5 u.7,11 u.13,17u.19,29 u.31,41u.43, 59u.60, 71u.73
die Zahlen dazwischen: 6. 12. 18. 30. 42. 60. 72.
Sie befinden sich auf der senkrechten Mittelachse des Bildes von oben nach unten in Spektralfarben ansteigend. Ich nenne diese Zahlen zwischen den Zwillingen Symmetriezahlen. Es ist klar, dass sich die Zwillinge symmetrisch zu diesen Zahlen zwischen ihnen befinden. Auch ist bekannt, dass die Zahlen zwischen den Zwillingen Vielfache von 6 sind (6xn) und die Zwillinge mit 6xn+1 u. 6xn-1 mathematisch bezeichnet werden. Z. B. 6×3=18, 6×5=30, 6×12=72 usw./6×3-1=17,6×3+1=19,6×5-1=29,6×5+1=31.
.Ausschnitt , der sich auf die PZF30 mit 30 im Zentrum konzentriert. 
Was ich nun entdeckt habe und auch in dem obigen Ausschnitt sehr gut ablesbar wird, ist die Tatsache, dass nicht nur die Zwillingsprimzahlen im gleichen symmetrischen Abstand zu den Zahlen zwischen ihnen stehen, sondern darüber hinaus sehr viele weitere Primzahlen.
Betrachten wir also die Gruppe von Primzahlen, die sich um die Zahl 30 vorwärts und rückwärts scharen
Das sind die folgenden Zahlen auf dem Bild, die ein blau-violettes Zentrum haben, das von einer ganze Reihe von blau-violetten konzentrischen Kreisen und Quadraten eingefaßt wird: hier also diese Primzahlen um die 30 herum und darunter die Abstände, die sie vom Zentrum 30 haben:
1 7 13 17 19 23 29 30 31 37 41 43 47 53 59
29. 23. 17. 13. 11. 7. 1. 1. 7. 11. 13. 17. 23. 29
Die beiden Zwillinge haben den Abstand 1 von der Mitte, die beiden nächst-äußeren 23 und 37 haben den Abstand 7, die 19 und 41 haben den Abstand 11 , usw.Diese Zahlenpaare nenne ich – in Anlehnung an die Zwillingspaare- die ja auch Geschwister sind, Primzahlgeschwisterpaare und alle zusammen eine Primzahlfamilie, benannt nach der Symmetriezahl im Zentrum, hier 30. All diese Geschwisterpaare, die Zwillinge eingeschlossen, 7 an der Zahl, ergeben jeweils in der Summe das Doppelte (60) vom Zentrum (30). Addiert man alle Primzahlen in dieser Familie, so ergibt die Summe (420) das Gleiche , wie das Produkt aus der Anzahl der Primzahlen (14) und dem Zentrum (30). 14×30=420.Auf dem Bild gibt es noch andere Primzahlfamilien, z.B. die PZF 18 in Blau:
5. 7 13. 17. 18. 19. 23. 29. 31
Das ist die nächst- kleinere, die nächst-größere in Rot ist:
1 5 11 13 17 23 31 37 41 42 43 47 53 61 67 71 73 79 83
Wegen der Ausschnitthaftigkeit fehlt von dieser PZF die letzte Zahl 83.
In Gelb folgt die PZF 72, die ihr Zentrum fast am unteren Bildrand hat und deshalb nur zur Hälfte auf dem Bild zu sehen ist:
5 7 13 17 31 43 47 61 71 72 73 ……………………. ?
Nach den Dir bisher bekannten Gesetzmäßigkeiten müßtest Du die fehlenden Primzahlen, die außerhalb des Bildes unsichtbar sind, ergänzen können.
Es gibt noch eine grüne PZF12:
1 7 11 12 13 17 23
Und eine hellgrüne PZF6:
1. 5. 6. 7. 11
Und eine gelbe ganz kleine:
1. 3. 4. 5. 7
In dieser Abbildung sind tabellarisch die PZFamilien bis zum Zwillingspaar 347/349 mit der Symmetriezahl 348 zu sehen.
Hier lässt sich auch noch einmal nachlesen, welches die oben fehlenden Primzahlen sind.
Diese Pyramide lässt sich beliebig fortsetzen.
Es folgt jetzt noch die Abbildung eines Gemäldes, das bis zur PZF 72 geht und diese Primzahlfamilie vollständig abbildet.
Die Symmetriezahl 72 steht hier im Zentrum.
Zur Wiederholung und Vertiefung folgt nun noch einmal ein Text, der sich auf die Primzahlfamilie (PZF72) bezieht.
1.So wie die Zwillingsprimzahlen, stehen auch alle übrigen Primzahlen als Geschwisterprimzahlen paarweise zu den Zahlen zwischen den Zwillingen in symmetrischen Positionen.
Nach diesen Symmetriezahlen zwischen den Zwillingsprimzahlen sind die Primzahlfamilien benannt.
Darüber hinaus stehen aber auch die Primzahlen
61 und 83 als Geschwisterprimzahlen im gleichen Abstand (hier11)
zur 72. das gleiche
gilt für 97 und 47, Abstand 25
101 u. 43, Abstand 29,
103 u. 41, Abstand 31,
107 u. 37, Abstand 35,
113 u. 31 ,Abstand 41,
127 u.17, Abstand 55,
131 u. 13,Abstand 59,
137 u.7,Abstand 65,
und 139 u. 5, Abstand 67, die jeweils paarweise im gleichen Abstand zur Symmetriezahl 72 spiegelbildlich stehen. All diese 22 Primzahlen, die in elf Paaren zur 72 symmetrisch stehen, gehören zur Primzahlfamilie 72.
In der Summe ergeben die einzelnen Paare immer 144, also das Doppelte der Symmetriezahl 72.
Addiert man alle Primzahlen dieser Familie, das sind elf Paare, bzw. 22 einzelne Primzahlen, so ergeben sie 1584, was identisch ist mit dem Produkt aus der Symmetriezahl (72) und der Anzahl der Primzahlen (22).Das gleiche Ergebnis wie das Produkt aus der Anzahl der Paare (11) mal der Summe der einzelnen Paare (144).Es besteht also eine Gleichung, die besagt, dass die Summe aller Prim-zahlen einer Familie gleich dem Produkt aus der Anzahl der Primzahlen und der Symmetriezahl ist.
Lässt sich auf der Basis dieser Regelmäßigkeiten jede Primzahl vorausberechnen?
Für die Vorausberechnung , also die Erzeugung von Primzahlen lässt sich folgender Algorithmus für ein Computerprogramm aufstellen:
aus der bereits gebildeten Primzahlfamilie 72 wird das nächsthöhere Zwillingspaar ermittelt : 101 u.103.
Es wird die Symmetriezahl dazwischen 102 als Zentrum der nächsthöheren Primzahlfamilie eingesetzt.
Das Programm ermittelt alle rückwärtigen Primzahlen, zu denen vorwärts spiegelbildlich Primzahlen bestehen.
Die neue Primzahlfamilie sieht dann so aus
5,7,11,13,23,31,17,31,37,41,47,53,67,73,97,101,102,
103,107,131,137,151,157,163,167,173,181,191,193,197,199
7.Der Algorithmus beginnt wieder damit, dass ein neues Zwillingspaar (191,193) ermittelt wird, die Symmetriezahl gefunden und als neues Zentrum einer weiteren Primzahlfamilie eingesetzt wird
Das Computerprogramm, das diesem Algorithmus folgt, existiert bereits und läuft. Es hat schon vor Jahren ein Schüler von mir geschrieben. Es läuft , soweit ich weiß, endlos und bringt sehr schnell einen normalen PC wegen Überfüllung zum Absturz.
Ich bin seit einiger Zeit auf der Suche nach einem Mathematiker mit einem Institut, das in der Lage ist mit Computern bis in höchste Zahlenbereiche nachzuweisen, dass sich dieses Symmetriemuster der Primzahlen bis in die Unendlichkeit fortsetzt.
Ein besonders prägnantes Beispiel für das Symmetriemuster in der Verteilung der Primzahlen ist folgende tabellarische Aufstellung, die nur aus Zwillingsprimzahlen besteht. Sie geht um fast das Dreifache über die obere Pyramide hinaus und wartet darauf mit Computern in höhere Zahlenregionen fortgesetzt zu werden. 
