Sie gilt bis heute als chaotisch, regellos, unvorhersehbar. Andererseits wird seit je her vermutet, dass es doch so etwas wie eine Struktur, eine Regelmäßigkeit in der Abfolge der Primzahlen geben könnte.
Seit einigen Jahren beschäftige ich mich als Bildender Künstler damit, in der Verteilung der Primzahlen ein Ordnungsprinzip zu entdecken, bzw. das entdeckte Verteilungsmuster in Bildern zu visualisieren.
Um es vorauszuschicken: es ist ein Symmetrie-Muster, das ich freigelegt habe. Es hängt ganz eng mit den Zwillings-Primzahlen zusammen, bzw. mit den Zahlen zwischen den Zwillingen.
Diese sind Mehrfache von 6 (6n) und die Zwillinge werden notiert wie folgt :
6n-1 und 6n+1. z.B. sei n=1: 6×1-1=5 und 6×1+1=7 , 5,6,7
und sei n=2: 6×2-1=11 und 6×2+1=13, 11,12,13
und sei n=3: 6×3-1=17 und 6×3+1=19, 17,18,19, usw.
Die Zahlen zwischen den Zwillingen nenne ich Symmetriezahlen: zu diesen stehen die Zwillinge ganz offensichtlich in symmetrischen Abstand. Der erste Zwilling ist um 1 kleiner und der zweite um 1 größer als die Symmetriezahl. Meine Entdeckung besteht nun darin, dass weitere Primzahlen über die Zwillinge hinaus ebenfalls paarweise in spiegelbildlichem Abstand zu den Symmetriezahlen zwischen den Zwillingen stehen.
Nehmen wir zum Beispiel die Symmetriezahl 18 (6×3) mit den Zwillingen:
17 (6×3-1) und 19 (6×3+1).
5- 7- 13- 17- 18- 19- 23- 29- 31.
Die Abstände zum Zentrum stehen darunter:
13 11 5 1 1 5 11 13
Es ist offensichtlich:
1. Die Zwillinge 17 und 19 sind in der Summe das Doppelte der Zahl zwischen ihnen. (36)
2. Alle weiteren Primzahlen stehen hier ebenfalls paarweise in gleichem Abstand zu der Symmetriezahl.
3. Diese Paare ( ich nenne sie in Anlehnung an die Zwillinge Geschwister-Primzahlen) ergeben ebenfalls in der Summe 36, also das Doppelte der Symmetriezahl.
4. Eine Gleichung besteht aus der Summe aller beteiligten Primzahlen
(5+7+13+17+19+23+29=144)
und dem Produkt aus der Anzahl (8) der Primzahlen und dem Zentrum (18).
Also: 8×18=144
oder dem Produkt aus der Anzahl der Paare (4) und ihrer jeweiligen Summe (36).
Die Verteilung der Primzahlen gilt in der Mathematik als chaotisch. Die herrschende Meinung besagt, dass die Primzahlen keinem System, keiner Ordnung, keinem Muster folgen, bzw. dass ein solches Muster bisher nicht gefunden wurde.
Es sei hier noch vorausgeschickt, was eigentlich Primzahlen auszeichnet.
Sie lassen sich nur durch eins und sich selbst teilen. Sie sind also Individuen, unteilbar wie zum Beispiel 11. Während 12 teilbar ist durch 1, 2, 3 , 4 , 6 und 12, ist die 11 nur durch sich selbst und 1 teilbar.
Man kann auch sagen, dass die erste Zahl von jedem 1×1 eine Primzahl ist.
Vermutlich haben die Primzahlen daher auch ihren Namen.
1×2 = 2, also ist 2 eine Primzahl, übrigens die einzige gerade Zahl, denn 4,6,8,10,12…. sind keine PZ, weil sie die 2.3.4. usw. Zahlen des 1x1x der 2 sind. Das bedeutet, das jede weitere gerade Zahl außer 2 keine Primzahl sein kann.
1×3 = 3, also ist 3 eine PZ, 9,15, 21, usw. sind also keine PZ. (6,12 und 18 sind sowieso keine PZ, s. oben)
Das bedeutet , dass jedes Vielfache von 3 keine Primzahl sein kann.
1×5 = 5, also ist 5 eine PZ, 10, 20, 25 sind also keine Primzahlen.
Dass bedeutet , dass keine Zahl, die auf 0 oder auf 5 endet, eine Primzahl sein kann, außer der Zahl 5 selbst, u.s.w. Vom 1×1 der 7 ist nur die 7 eine Primzahl, alle weiteren Vielfachen fallen raus. Weiterlesen →
the subject of my artistic and mathematical work is the distribution of the prime numbers.
It is the prevailing opinion in the mathematical community that the prime numbers are distributed in a way that does not allow any rule to be found, there seems to be no system to make a prediction for a next prime number´s position.
The mathematician Bernhard Riemann has given with his famous conjecture precise tools to calculate the quantitative decrease of the density of the prime numbers under given higher numbers.
But never the less the prime numbers still have the reputation of being chaotically positioned.
What was missing so far is a structural pattern of the prime numbers distribution.
And I promise you, I have found it:
It is a beautiful symmetry-pattern.
I hope my lecture, my art work and in addition a computer program will convince you.
This following tabular compilation of numbers consists of prime numbers with the exception that in the central vertical column there are numbers that exist between the twin-prime-numbers below 360, like 6 between 5 and 7, 12 between 11 and 13 and so on up to 348 between 347 and 349.
endlich komme ich dazu, Dir das Zahlen-, Bild- und Textmaterial zu schicken, mit dem ich Dir meine Entdeckung eines Musters in der Verteilung der Primzahlen noch ein Stück näher bringen möchte.
Ich denke wir sind uns einig darüber, dass die gängige Meinung, die in der mathematischen Welt zur Zeit immer noch herrscht, davon ausgeht, dass es ein strukturelles Muster in der Primzahl – Verteilung nicht gibt.
(Weshalb ja die Verschlüsselung von Informationen auf Primzahlen basiert.)
Soweit ich als mathematischer Laie es verstanden habe, wollte Bernhard Riemann mit seiner berühmten Vermutung und seiner Zeta-Funktion auch nur die quantitative Abnahme der Dichte der PZ nach oben genauer fassen.
Ich hingegen sehe in dem Symmetriemuster, das ich hier vorstelle, ein qualitatives Strukturmuster.
Es lässt sich mit Hilfe von Computerprogrammen bis in sehr hohe Bereiche verfolgen und nachweisen. Die Obergrenze ist eigentlich nur durch Kapazitätseinschränkungen der Computer gegeben.
(Vielleicht kannst Du an dieser Stelle mit Deinem Institut oder anderen Verbindungen Abhilfe schaffen)
Meine ersten Untersuchungen beschränkten sich auf den Bereich bis 360. Ich habe im Kreis von 360 Grad versucht mit dem Zirkel auf geometrische Weise Symmetrien zu finden. Tatsächlich eignen sich alle Teiler von 360 als Symmetriepunkte, zu denen Primzahlen spiegelbildlich stehen. Von diesen Teilern stehen ja auch etliche zwischen Zwillingen (z.B.4,6,12,18,30, 60,72,180).
Erst später bin ich darauf gekommen, dass ausschließlich die Zahlen zwischen den Zwillingen die Schlüssel sind zur Auffindung des Verteilungsmusters der Primzahlen.
Ich habe auch deshalb mich zunächst auf die Zahl 360 als Obergrenze konzentriert, weil 360 eine hoch zusammengesetzte Zahl ist.
(Von diesen hoch zusammengesetzten Zahlen hat der indische Mathematiker Ramanujan einmal gesagt, sie wären so wenig prim wie es eine Zahl nur sein kann.)
Meine Vorgehensweise war weniger logisch als intuitiv.
Hier nun eine tabellarische Zahlenpyramide in einer farbigen und eine SW-Variante
In der weißen Mittelsenkrechten (s. obere Abb.) stehen alle Zahlen, die unter 360 zwischen Primzahl-Zwillingen bestehen. Keine Primzahlen!
Ich nenne sie Symmetriezahlen.
Zu ihnen direkt benachbart stehen rechts und links in Gelb die Zwillinge im symmetrischen Abstand von 1.
In jeder Zeile sind nun weitere gleichfarbige Primzahlen, die ebenfalls paarweise im gleichen Abstand zum Zentrum stehen, aufgereiht. Diese nenne ich – in Anlehnung an die Zwillingsprimzahlen – Geschwisterprimzahlen.
Alle Zahlen, die in dieser tabellarischen Aufstellung in einer Zeile stehen:
die zentrale Symmetriezahl, die benachbarten Zwillinge und die weiteren Geschwister nenne ich zusammen eine Primzahl-Familie, jeweils benannt nach der Zahl in ihrem Zentrum.
Alle Zwillings- und Geschwisterpaare ergeben in der Summe das Doppelte der Symmetriezahl.
Auch besteht eine Gleichung zwischen dem Produkt aus der Anzahl der Primzahlen und der Symmetriezahl einerseits und der Summe aller Primzahlen einer Familie. Z.B: PZF (Primzahl-Familie 30). 14 PZ x 30 = 420. 7 x 60 = 420.
Ein Schüler von mir hat, als ich noch im Goethe-Gymnasium in Berlin Kunst unterrichtete, nach einem Algorithmus, den ich ihm vorgab, Programme geschrieben, die die Auffindung und Auflistung aller höheren PZF ermöglichen.
Doch zunächst noch eine weitere tabellarische Übersicht von Primzahlen, ebenfalls zu einer Pyramide angeordnet. Es handelt sich hier ausschließlich um Zwillings-Primzahlen-Paare und die Symmetriezahlen, zu denen sie spiegelbildlich stehen.
Ich sollte an dieser Stelle einfügen, dass ich die 1 weiterhin als Primzahl in diesem Muster behandele. Im 19. Jh. galt sie noch als PZ. Sie wurde dann erst deshalb als Primzahl abgeschafft, weil sie sich nicht als Primzahl-Faktor eignete.
Die Symmetriezahlen zwischen den Zwillingen enden nur auf 0, 2 und 8.
Auf 4 und 6 geht nicht (nur am Anfang neben der 5 ), weil eine Zahl mit der Endziffer 5 keine Primzahl ist.
Ich habe in obiger Zwillings-Primzahl-Tabelle die Zeilen je nach der Endziffer der zentralen Symmetriezahl (0,2 oder 8) farblich voneinander unterschieden.
0 ist rot , 2 ist grün und 8 ist blau. Es ist ganz nebenbei sehr interessant, dass diese Zwillings-Primzahl-Familien in ihrer Mächtigkeit ganz deutlich unterschieden sind: Die roten sind die größten, es folgen die grünen, zuletzt die blauen.
Klar ist, dass alle drei Typen im Verbund alle Primzahl-Zwillinge sukzessive erfassen.
Diese beiden Tabellen stellen sozusagen das Rohmaterial dar, auf dessen Basis ich meine These stütze, das diese erkennbare Musterbildung sich bis in die Unendlichkeit fortsetzt. Der bereits genannte Schüler hat ein Computerprogramm geschrieben nach folgendem Algorithmus:
Zunächst werden die Symmetriezahlen zwischen den Zwillingen ermittelt. Es folgt die Ermittlung der rückwärtigen zu diesen Symmetriezahlen positionierten Primzahlen.
Es folgt die Ermittlung der zukünftigen ( zu den rückwärtigen Primzahlen spiegelbildlichen) Positionen der Primzahlen. Alle Primzahlen, die kein Geschwisterpaar haben fliegen raus!
Das Programm ermittelt darauf das nächst höhere Zwillingspaar und setzt die Zahl dazwischen als neue Symmetriezahl ein. U.s.w.
Es gibt zwei Varianten dieses Programms:
Beim ersten (ganz gemütlich) muss man die Symmetriezahl (auch Trenner genannt) selbst eingeben und das Programm ermittelt die ganze Primzahl-Familie.
Beim zweiten läuft das Programm selbsttätig und stapelt alle ermittelten PZF (Primzahl-Familien).
Auf meinem inzwischen ausrangierten PC erscheint in rasender Geschwindigkeit eine PZF nach der nächsten und man kann, (man muss sogar) den Prozess anhalten bzw. unterbrechen mit Strg S (stop) und wieder fortsetzen mit Strg G (go).
Wegen der Fülle des Zahlenmaterials werden in Kürze die ersten Ergebnisse gelöscht ,um Platz für die nächsten zu machen, so dass immer nur ein begrenztes „Fenster „ von Ergebnissen zu sehen ist.
Falls Dich die Programme noch genauer interessieren: Ich habe die Ausdrucke der Befehlsketten.
Diese Programme sind im Text meiner Mail, nicht in diesem Anhang
Ich hoffe, Du kannst die Programme öffnen und evtl. eines Tages auf Rechnern laufen lassen, die in der Lage sind, dieses Verteilungsmuster der Primzahlen in der ganzen Fülle, Tiefe und Breite nachzuweisen.
Ich möchte einen Gedanken anfügen, der – mein Laientum eingestanden und vorausgesetzt – etwas kühn ist und möglicherweise völlig daneben zielt.
Riemann postuliert, dass alle nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion auf einer Geraden liegen, die durch 1/2 führt. Meine Frage:
Lieber Roland, kann es sein, da alle Zentren meiner symmetrischen Primzahl-Familien auf der Hälfte (in der Mitte der Familien liegen), also im Punkt 1/2 , dass darin ein Zusammenhang zu Riemanns Vermutung zu seiner Zeta-Funktion besteht ???
Um den Primzahlen auf einer Bildfläche einen Ort zuzuweisen, der ihrer Höhe entspricht, habe ich hier die Mittelsenkrechte bei 72 von einer Diagonalen kreuzen lassen, auf der sich die entsprechenden Primzahl-Familie befindet. Die weißen symmetrisch nach unten und oben weisenden Viertelkreis – Bögen verbinden das Symmetriezentrum mit den Primzahl-Paaren.
Hier wurde die Mittelsenkrechte diagonal von allen Primzahl-Familien bis zur 192 im Zentrum von links oben bis rechts unten gekreuzt, sie überlagern sich.
Durch die farbliche Absetzung der Primzahl-Familien voneinander sind sie deutlicher unterscheidbar.
Jetzt füge ich noch ein paar Bilder an, zum Genießen ohne Zahlengrübelei.
Acryl auf Leinwand 40×40
Hier ist das Zentrum des Bildes die Zahl 72, davor 60, 42, 30, 18, 12, 6, usw.
Hier ist das Zentrum 348, die Größe des Bildes ist 174×174 cm.
Außerdem werde ich mich in 2019 an einer Ausstellung und einem Wettbewerb von www.bridgesmathart.org beteiigen.
Mein besonderes aktuelles Interesse, jetzt nach der Entdeckung des Symmetriemusters in der Verteilung der Primzahlen, besteht darin, in Zusammenarbeit mit Informatikern und/oder Mathematikern zu verifizieren, dass sich dieses symmetrische Muster bis in die Unendlichkeit fortsetzt und nachweisen lässt.
Der Nachweis sollte nach meiner Vorstellung das Muster mindestens so weit nach oben hin verfolgen, dass alle bisher 51 entdeckten Mersenne-Primzahlen ihren Platz in dem Strukturmuster der Primzahl-Verteilung finden.
Wesentliche Ansätze dazu sehe ich in:
Meiner These, dass sich alle Primzahlen in Symmetriepositionen von Paaren befinden und somit alle von 2 bis ∞ in dem Symmetriemuster der Primzahl-Verteilung ihrer Position finden.
Dem Programm, das dem Algorithmus folgt, dass jedes Zwillings-Primzahl-Paar zwischen sich eine Symmetriezahl hat, die geeignet ist, neue Primzahl-Paare zu finden, usw.
Das Primzahlensymmetriemuster / Primzahlenverteilungsmuster
Die Verteilung der Primzahlen gilt in der Mathematik als chaotisch. Die herrschende Meinung besagt, dass die Primzahlen keinem System, keiner Ordnung, keinem Muster folgen, bzw. dass ein solches Muster bisher nicht gefunden wurde.
Es sei hier noch vorausgeschickt, was eigentlich die Primzahlen auszeichnet.
Sie lassen sich nur durch eins und sich selbst teilen. Sie sind also Individuen, unteilbar wie zum Beispiel 11. Während 12 teilbar ist durch 1,2, 3 , 4 , 6 und 12, ist die 11 nur durch sich selbst und 1 teilbar.
Man kann auch sagen, dass die erste Zahl von jedem 1×1 eine Primzahl ist.
Vermutlich haben die Primzahlen daher auch ihren Namen.
1×2 = 2, also ist 2 eine Primzahl, übrigens die einzige gerade Zahl, denn 4,6,8,10,12, u.s.w. sind keine PZ, weil sie die 2.3.4. usw. Zahlen des 1x1x der 2 sind. Das bedeutet, das jede weitere gerade Zahl außer 2 keine Primzahl sein kann.
1×3 = 3, also ist 3 eine PZ, 9,15, 21, usw. sind also keine PZ.(6,12 und 18 sind sowieso keine PZ, s. oben)
Das bedeutet , dass jedes Vielfache von 3 keine Primzahl sein kann.
1×5 = 5, also ist 5 eine PZ, 10, 20, 25 sind also keine Primzahlen.
Dass bedeutet , dass keine Zahl, die auf 0 oder auf 5 endet, eine Primzahl sein kann, außer der Zahl 5 selbst, u.s.w. Vom 1×1 der 7 ist nur die 7 eine Primzahl, alle weiteren Vielfachen fallen raus.
Betrachtet man z.B. die ersten 100 Primzahlen, so ist allenfalls erkennbar, dass die Dichte abnimmt, also die Abstände tendenziell größer werden:
Darüber hinaus ist keine Musterbildung erkennbar.Anders als z.B. bei der Reihe der Fibonacchizahlen.(Goldener Schnitt):
1,1,2,3,5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,……….
Hier besteht jede Zahl aus der Summe der beiden vorangegangenen, die nächste wäre also 144.(natürlich werden auch hier die Abstände deutlich größer). Die jeweils nächste Zahl dieser Reihe ist klar berechenbar.
Seit Jahrtausenden besteht in der mathematischen Forschung die Sehnsucht, in der Verteilung der Primzahlen eine Ordnung zu finden.
Ich habe also ein Muster entdeckt und arbeite an dessen Visualisierung also mit:
Lineal und Zirkel (Geometrie) und
Punkt, Linie , Fläche und Farbe (Bildnerische Mittel)
Ich möchte hier am Beispiel des obigen Bildes die Struktur des Symmetriemusters in der Verteilung der Primzahlen erläutern.
Es handelt sich hier offensichtlich um einen sehr kleinen Ausschnitt der Zahlenwelt, den ich für exemplarisch halte. Ich werde auch zeigen, dass und wie sich dieses Muster fortsetzt. Denn was hier im Kleinen gilt, hat auch Gültigkeit im großen Rahmen mit sehr großer Wahrscheinlichkeit bis ins Unendliche, (nach der antiken Vorstellung von pars pro toto).
Ich habe in dieses Bild ausnahmsweise die Primzahlen, die darin vorkommen, an den betreffenden Stellen eingeschrieben.
Das Bild ist nur 40 x 40 cm groß , die höchste Primzahl ist 79, die kleinste 1. Jeder Zahl wird also ein halber Zentimeter eingeräumt.
Die Eins gilt heute nicht mehr als Primzahl, wurde aber im 19. Jh. noch als solche angesehen, sie passt sehr gut in das Muster und wird von mir somit auch wie eine Primzahl behandelt. Schließlich ist ja die 1 durch 1 und sich selbst teilbar. (Die Gründe für die Verbannung der 1 als PZ sind zu googeln)
Zum Verständnis des obigen Bildes:„ Kleines Primzahlmuster“, Acryl a. L. 40 x 40 cm, Dez. 2016
Auf diesem Bild befinden sich nicht nur Primzahlen, sondern auch die Zahlen zwischen einer besonderen Sorte der Primzahlen , die unter dem Namen Zwillingsprimzahlen bekannt sind. Diese heißen so, weil sie so dicht beieinander stehen, dass nur eine Zahl zwischen ihnen Platz hat.
Z. B. 5 u.7,11 u.13,17u.19,29 u.31,41u.43, 59u.60, 71u.73
die Zahlen dazwischen: 6. 12. 18. 30. 42. 60. 72.
Sie befinden sich auf der senkrechten Mittelachse des Bildes von oben nach unten in Spektralfarben ansteigend. Ich nenne diese Zahlen zwischen den Zwillingen Symmetriezahlen. Es ist klar, dass sich die Zwillinge symmetrisch zu diesen Zahlen zwischen ihnen befinden. Auch ist bekannt, dass die Zahlen zwischen den Zwillingen Vielfache von 6 sind (6xn) und die Zwillinge mit 6xn+1 u. 6xn-1 mathematisch bezeichnet werden. Z. B. 6×3=18, 6×5=30, 6×12=72 usw./6×3-1=17,6×3+1=19,6×5-1=29,6×5+1=31.
.Ausschnitt , der sich auf die PZF30 mit 30 im Zentrum konzentriert.
Was ich nun entdeckt habe und auch in dem obigen Ausschnitt sehr gut ablesbar wird, ist die Tatsache, dass nicht nur die Zwillingsprimzahlen im gleichen symmetrischen Abstand zu den Zahlen zwischen ihnen stehen, sondern darüber hinaus sehr viele weitere Primzahlen.
Betrachten wir also die Gruppe von Primzahlen, die sich um die Zahl 30 vorwärts und rückwärts scharen
Das sind die folgenden Zahlen auf dem Bild, die ein blau-violettes Zentrum haben, das von einer ganze Reihe von blau-violetten konzentrischen Kreisen und Quadraten eingefaßt wird: hier also diese Primzahlen um die 30 herum und darunter die Abstände, die sie vom Zentrum 30 haben:
Die beiden Zwillinge haben den Abstand 1 von der Mitte, die beiden nächst-äußeren 23 und 37 haben den Abstand 7, die 19 und 41 haben den Abstand 11 , usw.Diese Zahlenpaare nenne ich – in Anlehnung an die Zwillingspaare- die ja auch Geschwister sind, Primzahlgeschwisterpaare und alle zusammen eine Primzahlfamilie, benannt nach der Symmetriezahl im Zentrum, hier 30. All diese Geschwisterpaare, die Zwillinge eingeschlossen, 7 an der Zahl, ergeben jeweils in der Summe das Doppelte (60) vom Zentrum (30). Addiert man alle Primzahlen in dieser Familie, so ergibt die Summe (420) das Gleiche , wie das Produkt aus der Anzahl der Primzahlen (14) und dem Zentrum (30). 14×30=420.Auf dem Bild gibt es noch andere Primzahlfamilien, z.B. die PZF 18 in Blau:
5. 7 13. 17. 18. 19. 23. 29. 31
Das ist die nächst- kleinere, die nächst-größere in Rot ist:
Wegen der Ausschnitthaftigkeit fehlt von dieser PZF die letzte Zahl 83.
In Gelb folgt die PZF 72, die ihr Zentrum fast am unteren Bildrand hat und deshalb nur zur Hälfte auf dem Bild zu sehen ist:
5 7 13 17 31 43 47 61 71 72 73 ……………………. ?
Nach den Dir bisher bekannten Gesetzmäßigkeiten müßtest Du die fehlenden Primzahlen, die außerhalb des Bildes unsichtbar sind, ergänzen können.
Es gibt noch eine grüne PZF12:
1 7 11 12 13 17 23
Und eine hellgrüne PZF6:
1. 5. 6. 7. 11
Und eine gelbe ganz kleine:
1. 3. 4. 5. 7
In dieser Abbildung sind tabellarisch die PZFamilien bis zum Zwillingspaar 347/349 mit der Symmetriezahl 348 zu sehen.
Hier lässt sich auch noch einmal nachlesen, welches die oben fehlenden Primzahlen sind.
Diese Pyramide lässt sich beliebig fortsetzen.
Es folgt jetzt noch die Abbildung eines Gemäldes, das bis zur PZF 72 geht und diese Primzahlfamilie vollständig abbildet.
Die Symmetriezahl 72 steht hier im Zentrum.
Zur Wiederholung und Vertiefung folgt nun noch einmal ein Text, der sich auf die Primzahlfamilie (PZF72) bezieht.
1.So wie die Zwillingsprimzahlen, stehen auch alle übrigen Primzahlen als Geschwisterprimzahlen paarweise zu den Zahlen zwischen den Zwillingen in symmetrischen Positionen.
Nach diesen Symmetriezahlen zwischen den Zwillingsprimzahlen sind die Primzahlfamilien benannt.
Darüber hinaus stehen aber auch die Primzahlen
61 und 83 als Geschwisterprimzahlen im gleichen Abstand (hier11)
zur 72. das gleiche
gilt für 97 und 47, Abstand 25
101 u. 43, Abstand 29,
103 u. 41, Abstand 31,
107 u. 37, Abstand 35,
113 u. 31 ,Abstand 41,
127 u.17, Abstand 55,
131 u. 13,Abstand 59,
137 u.7,Abstand 65,
und 139 u. 5, Abstand 67, die jeweils paarweise im gleichen Abstand zur Symmetriezahl 72 spiegelbildlich stehen. All diese 22 Primzahlen, die in elf Paaren zur 72 symmetrisch stehen, gehören zur Primzahlfamilie 72.
In der Summe ergeben die einzelnen Paare immer 144, also das Doppelte der Symmetriezahl 72.
Addiert man alle Primzahlen dieser Familie, das sind elf Paare, bzw. 22 einzelne Primzahlen, so ergeben sie 1584, was identisch ist mit dem Produkt aus der Symmetriezahl (72) und der Anzahl der Primzahlen (22).Das gleiche Ergebnis wie das Produkt aus der Anzahl der Paare (11) mal der Summe der einzelnen Paare (144).Es besteht also eine Gleichung, die besagt, dass die Summe aller Prim-zahlen einer Familie gleich dem Produkt aus der Anzahl der Primzahlen und der Symmetriezahl ist.
Lässt sich auf der Basis dieser Regelmäßigkeiten jede Primzahl vorausberechnen?
Für die Vorausberechnung , also die Erzeugung von Primzahlen lässt sich folgender Algorithmus für ein Computerprogramm aufstellen:
aus der bereits gebildeten Primzahlfamilie 72 wird das nächsthöhere Zwillingspaar ermittelt : 101 u.103.
Es wird die Symmetriezahl dazwischen 102 als Zentrum der nächsthöheren Primzahlfamilie eingesetzt.
Das Programm ermittelt alle rückwärtigen Primzahlen, zu denen vorwärts spiegelbildlich Primzahlen bestehen.
7.Der Algorithmus beginnt wieder damit, dass ein neues Zwillingspaar (191,193) ermittelt wird, die Symmetriezahl gefunden und als neues Zentrum einer weiteren Primzahlfamilie eingesetzt wird
Das Computerprogramm, das diesem Algorithmus folgt, existiert bereits und läuft. Es hat schon vor Jahren ein Schüler von mir geschrieben. Es läuft , soweit ich weiß, endlos und bringt sehr schnell einen normalen PC wegen Überfüllung zum Absturz.
Ich bin seit einiger Zeit auf der Suche nach einem Mathematiker mit einem Institut, das in der Lage ist mit Computern bis in höchste Zahlenbereiche nachzuweisen, dass sich dieses Symmetriemuster der Primzahlen bis in die Unendlichkeit fortsetzt.
Ein besonders prägnantes Beispiel für das Symmetriemuster in der Verteilung der Primzahlen ist folgende tabellarische Aufstellung, die nur aus Zwillingsprimzahlen besteht. Sie geht um fast das Dreifache über die obere Pyramide hinaus und wartet darauf mit Computern in höhere Zahlenregionen fortgesetzt zu werden.
